Эти простые, но сложные проценты…

Ничто не вызывает у меня большего недоумения в школьном курсе математики, чем ситуация с изучением процентов.

Объективно, это понятие совсем не сложное, вычисления элементарные, идеи задач на уровне здравого смысла. А вот поди ж ты! Массовое непонимание школьниками смысла процентов (не говоря уж об их применении), длинные и запутанные решения элементарных задач, паника учителей о результатах итоговых испытаниях. Суета сует…

Если посмотреть на программу, то впервые понятие процентов встречается преимущественно в 5-м классе. Изучается эта тема довольно подробно. Но!..

«Кто виноват?»

Чаще всего на момент рассмотрения темы «Проценты» учащиеся не в полной мере знакомы с арифметикой дробных чисел, а именно – с правилом нахождения дроби от числа. Это связано с умножением дробей,
что изучается в 6-м классе (к счастью, не в каждой линии учебников). Поэтому на долгое время в память школьников врезается и «застывает» алгоритм: делим на 100, умножаем на <…>.
И даже после того, как правило, по нахождению дроби от числа изучено, и упражнения из учебника (6-7 задач) решены, рефлекс остаётся.

Следующий «рудимент» – решение задач «на проценты» с помощью пропорции. Безусловно, есть задачи, которые можно и даже нужно решать, используя пропорциональные отношения. Но не все. Потому что уже при решении задач на смеси и сплавы пропорция будет не только удлинять процесс решения, но и откровенно ему «вредить».

Далее. Благополучно «пройдя» проценты в 5–6-х классах, некоторые учителя забывают о них вплоть до ОГЭ. Понять их можно: насыщенная программа по алгебре изобилует большим числом важнейших разделов, знание которых, возможно, более значимо для ученика. До процентов ли тут?

Вот такая последовательность явных дидактических недоразумений и приводит к тому, что в девятом классе
(да и в одиннадцатом) все причастные к итоговым экзаменам начинают «заламывать руки»: проценты – такая сложная тема! я ничего не понимаю! дети ничего не знают!

Как показывает практика двух спаренных уроков (90 минут) оказывается достаточным, чтобы разложить
у девятиклассника «по полочкам» все нужные знания о процентах и их применении. Возможно, сказывается возраст и некоторый приобретённый жизненный, а главное – вычислительный опыт. Но ведь и «процентный» опыт можно было целенаправленно формировать!

Что делать?

Во-первых, не формировать привычку «a : 100 × p». Проценты изучаются в разделе «Десятичные дроби», либо сразу после него. То есть умножать десятичные дроби дети уже умеют. Достаточно провести аналогию между двумя процессами «a : 100 × p» и «a × 0,01p» и сравнить результаты. Всё! В дальнейшем вычислять p % от числа или величины только вторым способом. Исключение могут составлять только ситуации, когда «выгоднее» перевести проценты в обыкновенную дробь (в частности, 25 %, 75 %, 20% и др.).

Во-вторых, не решать с помощью пропорции задачи типа: подоходный налог составляет 13 %; сколько получит на руки рабочий с зарплатой в 15 000 рублей? Если мы хотим, чтобы школьники понимали, как быстро решаются задачи на смеси и сплавы, а также рационально строится модель для «банковских» задач из ЕГЭ, то необходимо настойчиво «внедрять в жизнь» действие  «a × 0,01p».

К слову о трёх типах задач на проценты. Все помнят «этих типов»:
– нахождение процентов от числа,
– нахождение числа по его процентам,
– нахождение процентного отношения двух чисел.

Для каждого вида задач в учебниках предлагается три правила.
Их необходимо выучить, узнавать и применять в конкретной задаче.

Возможно, я сейчас вызову чей-то гнев за то, что подрываю десятилетиями устоявшиеся методические традиции, но рискну.

Почему нельзя запомнить только одно равенство: «a × 0,01p = b»? А потом, в зависимости от того, что нам дано, а что искомое, получить или числовое выражение, значение которого надо найти, или одно из двух возможных уравнений, которые решаются в «пять секунд»?

А вот «нарешавшись вдоволь» задач с помощью этого основного равенства, ученики (кому это действительно надо!) сами увидят три алгоритма. И сами для себя решат, как им удобно вычислять.

Теперь о том, как включить процентные вычисления в курс алгебры. Помимо банальных «упражнений для повторения» (между прочим, они очень важны и нужны, очень!), есть возможность реализовать другие форматы.

Например, неоправданно многими забытый устный счёт.
Приведу несколько вариантов заданий для такой работы.

1. Найти 25 % или 75 % от числа (любого кратного 4).
2. Найти 20 %, 40 %, 60 % или 80 % от числа (любого кратного 5).
3. Найти 10 % или 50 %от любого числа.
4. Найти любое число процентов от числа кратного 100.
5. Число увеличили в два раза. На сколько процентов увеличили число?
6. Число уменьшили в два раза. На сколько процентов уменьшили число?
7. Число увеличили в полтора раза. На сколько процентов увеличили число?
8. Число умножили на 1,45. На сколько процентов увеличили число?
9. Число умножили на 0,63. На сколько процентов уменьшили число?
10. Величину увеличили на 10 %, а потом ещё на 20 % (30 %, …). На сколько процентов увеличилось значение величины по сравнению с первоначальным?
11. Одно число в четыре раза больше другого. Сколько процентов составляет большее число от меньшего? А меньшее от большего? Сколько процентов каждое число составляет от их суммы?

Ещё один вариант «оставаться на плаву» – внедрять проценты в изучаемые темы.
Безусловно, это не всегда уместно.
Но вот список тем, в которых проценты будут весьма органично встраиваться в учебный процесс:

– буквенные выражения (отработка навыка «a × 0,01p»),
– линейные уравнения (практически все виды задач),
– степень с натуральным показателем (одноимённые процентные изменения на одно и то же число процентов),
– функции (вычислить какое число процентов составляет значение функции от соответствующего значения аргумента),
– системы линейных уравнений с несколькими неизвестными (процентное отношение значений неизвестных),
– квадратные уравнения (процентное отношение корней),
– прогрессии (много вариантов заданий, вплоть до способа задания прогрессий).

А вот где я категорически не рекомендую применять проценты, так это при вычислении вероятностей случайных событий. Это связано с тем, что в бланках ответов ОГЭ и ЕГЭ должна стоять десятичная дробь, а не целое число. Записывая значение вероятности в процентном формате, мы рискуем спровоцировать ребёнка на ошибочный по форме записи ответ.

Весьма продуманно – в контексте нашего разговора о процентах – устроена линия УМК по математике и алгебре А.Г. Мерзляка (УМК Мерзляка. Математика (5-6), https://rosuchebnik.ru/product/algebra-7-klass-uchebnik-427883/ и другие). На наш взгляд, там представлен наиболее приемлемый вариант «встречаемости» задач на проценты. Поэтому на эти учебники можно ориентироваться при разработке своих годовых планов и конкретных уроков. Если следовать логике этой линии учебников, то у детей проблем с решением задач на проценты быть не должно.
Надо только действительно следовать!
А не жертвовать задачами на повторение в желании «успеть пройти» новый материал.
А то так и окажется, что школьники прошли мимо процентов.

Обновлено: 17.10.2019 — 09:43

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *