Любимый метод интервалов

Продолжаем публикацию о применении метода интервалов. Прежде всего, надо сделать несколько примечаний общего характера.

1. Знак крайнего правого интервала.
Если все входящие в качестве множителей числителя и знаменателя функции возрастающие, то крайний правый интервал будет иметь знак «плюс». То же самое будет, если количество убывающих функций число нечётное.
(О выяснении монотонности сложной функции я написала статейку в раздел «Заметки математика».)
Понятно, что если количество убывающих функций будет нечётным, то знак крайнего правого интервала будет «минус».

2. Чередование знаков при переходе через контрольные точки.
Если при вычислении контрольных точек (нулей числителя и знаменателя) какое-то число у нас появилось нечётное число раз, то при переходе через неё знак поменяется. Про такую точку в математике говорят, что она имеет нечётную кратность.
Если контрольная точка имеет чётную кратность, то она сохраняет знак при переходе через неё.
(Я ученикам говорю, что это опасная точка. Как правило, все привыкают чередовать знаки, а тут — раз! и надо сохранять. Опасно.)

3.Включение в решение контрольных точек.
Если функции, входящие в неравенство таковы, что особых ограничений на неизвестную нет (нет корней, логарифмов), то
а) если неравенство строгое: ни одна контрольная точка в решение не войдёт;
б) если неравенство нестрогое: в решение войдут нули числителя (при условии, что они не являются одновременно нулями знаменателя), или, как говорят «закрашенные точки».
Если всё же какие-то ограничения есть, то область определения
а) имеет преимущество, если она исключает какие-то точки;
б) «подчиняется» знаку интервала.
Давайте на примере. Пусть при решении какого-то неравенства мы получили следующую модель:

«Крышей» отмечены интервалы нужного нам знака, а штриховкой указана область определения одной из входящих в неравенство функций. Понятное дело, что в ответ интервал, находящийся левее, не войдёт. Да и тот, что правее, войдёт не весь. То есть область определения в приоритете. Ответ: [a; +∞).

Теперь пусть область определения «переместится» влево.

Ответ: [10; +∞).

Продолжим перемещение ограничения на неизвестную.

Ответ: [10; +∞).

Мы видим, что над «левым» интервалом область определения имеет преимущество, а вот «правому» «подчиняется». Граница области определения число a не войдёт в ответ, так как «находится не в том интервале».

Рассмотрим остальные возможные ситуации.

Ответ: {0} ˅ [10; +∞).
Ответ: [a; 0] ˅ [10; +∞).
Ответ: (-2; 0] ˅ [10; +∞).
Ответ: (-2; 0] ˅ [10; +∞).

Рассмотрим ситуацию, когда область определения чуть интереснее.

Ответ: [ab).
Ответ: решения нет.
Ответ: {0}.
Ответ: (-2; 0).

Вот таким образом «работает» взаимодействие области определения и условия самого неравенства (знак, строгость).

В следующий раз расскажу, чем и почему похожи функции модуля и квадрата неизвестной при решении неравенств методом интервалов.

До встречи!

Обновлено: 24.09.2019 — 08:41

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *