Метод рационализации – хорошо, а метод интервалов – лучше!

На самом деле я не буду «бодаться» и доказывать, что метод интервалов легче, проще в применении, чем набирающий популярность «метод рационализации».
Если кому-то интересно, почему я не люблю так называемую «рационализацию», то объясню как-нибудь в другой раз.

А сейчас – моя прелесть: МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ (ну, или – обобщённый метод интервалов).

Напомню теоретическую базу.
Теорема.

Если функция непрерывна на данном интервале числовой прямой и не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то она сохраняет знак во всех точках этого интервала.

Давайте так: я не буду приводить простые и очевидные примеры неравенств, которых и без того много в учебных пособиях. Будем разбирать уже «замысловатые» задания. В процессе проговорим все необходимые «тонкости».
Пусть нам надо решить неравенство

Итак, по шагам.

В правой части неравенства ноль, в левой – частное двух функций: одна линейная относительно модуля неизвестной, вторая – линейная относительно квадратного корня из неизвестной. Структура подходит, следовательно, «имеем право» применить метод интервалов.

Находим нули числителя и знаменателя: 2, –2, 9. Назовём их контрольными точками (для простоты упоминания).

Отмечаем найденные контрольные точки на числовой прямой. Учитывая, что неравенство строгое все точки будут «выколотые», то есть ни одна из трёх найденных контрольных точек в решение неравенства не войдёт.
Эти три точки разделят числовую прямую на четыре интервала, в каждом из которых наши функции, входящие в неравенство, непрерывны и не обращаются в нуль. А, следовательно, сохраняют знак.

Далее. Учитывая, что наши линейные функции (с учётом всех «особенностей» монотонности модуля и корня) возрастающие, то крайний правый интервал будет «иметь знак плюс». Речевой оборот, взятый в кавычки, означает следующую мысль: выражение, стоящее в левой части данного неравенства на крайнем правом интервале будет принимать только положительные значения.
Каждая контрольная точка у нас получилась «в единственном экземпляре», иначе говоря, имеет единичную кратность. Нам важна не столько «единичность», сколько тот факт, что кратность нечётная. Это позволяет «при переходе через каждую точку менять знак». То есть, знаки значений выражения, стоящего в левой части данного неравенства, будут чередоваться, при их исследовании на интервалах, двигаясь справа налево (см. рисунок).

Отметим «крышей» те интервалы, которые имеют нужный нам знак – плюс (по условию выражение должно быть больше нуля, то есть положительным, чему соответствует как раз знак «+»).

Сейчас у некоторых (возможно большого числа читателей) возникнет праведный гнев: такая поборница математической корректности и грамотности, а допускает вопиющие ошибки! Но не торопитесь с осуждением, дочитайте до конца.

А теперь вспомним, хотя это следует всегда иметь в виду и не забывать, что в одну из функций входит арифметический квадратный корень из неизвестной, и этот самый корень, собственно говоря, существует не всегда. Поэтому здесь же на прямой отметим штриховкой область определения (см. рисунок).

Ответ: [0; 2) ˅ (9; +∞).

Объяснюсь, почему я расставляла знаки, не обращая внимание на область определения.
Дело в том, что такой подход в некоторых случаях существенно облегчает жизнь. Но в своё оправдание обосную всё-таки правомерность «своих поступков».
Дело в том, что исходное неравенство равносильно системе двух неравенств:

Тогда последовательность наших шагов вполне соответствует процессу решения этой системы: сначала мы решаем первое неравенство, а потом «накладываем» ограничение из второго неравенства. Всё законно.

На сегодня закончу.
В следующий раз рассмотрим неравенства с логарифмами и прочими «прибамбасами».

Обновлено: 17.09.2019 — 08:08

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *