Обзор заданий итоговых испытаний с вероятностными моделями

На сегодняшний день КИМы итоговых испытаний 9-го и 11-го классов содержат задания, которые в явном или неявном виде предполагают уверенное владение знаниями начал теории вероятностей.

Очень результативен приём «фиксация одного объекта из пары» (задачи 4–7).

При подсчёте числа вариантов благоприятствующих исходов и всех возможных надо акцентировать внимание школьников на особенности формулировки задачи. Большое значение при этом имеет грамотное чтение условия задачи. Сравните условия четырёх задач, представленных ниже.

1. В среднем на партию в сто сумок приходится три бракованных. Какова вероятность купить бракованную сумку

2. В среднем на партию в сто сумок приходится три бракованных. Какова вероятность купить качественную сумку?

3. В среднем на девяносто семь красных  сумок приходится три синих. Какова вероятность купить синюю сумку?

4. В среднем на девяносто семь красных  сумок приходится три синих. Какова вероятность купить красную сумку?

Условия очень похожи, но в каждой из задач свои особенности.

Особое значение имеют две классификации случайных событий: зависимые и независимые, совместные и несовместные. В ШКМ на сегодняшний день полноценное рассмотрение указанных видов событий происходит не повсеместно. Тексты КИМов итоговых испытаний вполне позволяли обходиться без такого рода знаний. Однако всё чаще и чаще стали появляться задания, в которых в неявном виде подразумеваются эти понятия.

В некоторых случаях, действительно, можно обойтись «рассуждениями общего вида». Например, достаточно известный тип задачи «вычисление вероятности события, возникающего при умножении двух независимых событий»: Какова вероятность того, что при подбрасывании двух игральных кубиков выпадет 8 очков?

Однако иногда предлагаются задачи, в которых «зависимость» и «независимость» как характеристики пар разных событий имеют уже существенное значение.

Стали появляться в КИМах задачи, решение которых основано на свойстве противоположных событий (p() + p() = 1) или полной группы событий (сумма вероятностей наступления одного из событий, образующих полную группу событий, равна 1). Тем не менее, введение этих терминов в изучаемое содержание ШКМ остаётся на выбор конкретного учителя, так как задания, предлагаемые в КИМах, оставляют возможность их решения без применения соответствующих классических знаний, основываясь на интуиции или геометрическом представлении ситуации.

Отметим задачи, в которых в неявном виде используется понятие полной группы элементарных событий (задача 9).

Отметим тот факт, что при решении этой задачи необходимы знания о сложении и умножении вероятностей, которые в зависимости от типа событий вычисляются разными способами. Есть возможность «обойти» эту трудность (если конкретная учебная программа не предполагает изучение таких тонкостей). Можно организовать всю информацию, данную в условии, в таблицу.

Отдельный вопрос о задачах, которые в теории вероятностей традиционно для решения используют такие понятия и факты как: «условная вероятность», формула полной вероятности и формула Байеса (Бейеса). В ШКМ эти понятия, судя по документам, не включены даже в перспективе. Однако задачи такого рода предлагаются. Как быть? Ответ – опять привлекаем таблицу! И приём, который часто используется при решении некоторых задач «на проценты» – «пусть всего 100». Только в вероятностных задачах целесообразно брать не сто, а 1000, потому что данные, как правило, таковы, что в процессе рассуждения мы вполне можем получить «полтора землекопа».

Примеры заданий

Задача 1. Конкурс исполнителей длится три дня. Всего заявлено 40 конкурсантов. В первый конкурсный день будут прослушиваться 10 исполнителей, а остальные поровну распределены на два оставшихся дня. Какова вероятность, что конкурсант N будет выступать в третий день? (0,375)

Задача 2. Аня, Боря, Валя и Гриша бросают жребий – кому начинать игру. Какова вероятность того, что игру будет начинать не Боря? (0,75)

Задача 3. Из множества чисел от 26 до 53 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 4? (0,25)

Задача 4. Маша и Даша сёстры-близнецы. Их класс делится на две группы по десять человек. Какова вероятность, что сёстры попадут в одну группу?

Задача 5. В театральном коллективе 20 учащихся, среди которых два друга Виктор и Алексей. Группа случайным образом разбивается на пять равных по численности команд. Найдите вероятность, что Виктор и Алексей окажутся в оной команде.

Задача 6. В турнире участвует 46 человек. Всех конкурсантов разбивают на пары случайным образом. Из страны X в турнире принимают участие 10 конкурсантов, среди которых есть прошлогодний победитель этого турнира. Какова вероятность, что он будет играть в паре с соотечественником? (0,2)

Задача 7. За круглый стол рассаживаются девять детей: две девочки и семь мальчиков. Какова вероятность, что девочки окажутся рядом?(0,25)

Задача 8. На стеклодувном заводе 10 % произведённых стаканов имеют дефект. При контроле качества выявляется 90 % брака. Остальные стаканы отгружают заказчику. Найдите вероятность того, что случайно выбранный заказчиком стакан не будет иметь дефекта.

Задача 9. При изготовлении блоков используют алюминиевые ролики – круглые детали, диаметр внешней части которых согласно стандарту должен быть равным 75 мм. Вероятность того, что диаметр будет отличаться от стандарта не более чем на 0,1 мм (допустимая погрешность) равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ролик будет иметь диаметр внешней части более чем 75,1 мм или менее чем 74,99 мм. (0,032)

Задача 10. Вероятность поражения мишени при стрельбе 0,7. Стрелок стреляет по мишени до её поражения. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы поразить мишень с вероятностью не менее 0,99? (4)

Задача 11. В фойе гостиницы работают два одинаковых кофейных автомата.  Вероятность того, что к концу дня в одном автомате закончится кофе, равна 0,1. Какова вероятность, что к концу дня кофе останется хотя бы в одном автомате? (0,99)

Задача 12. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,2. Какова вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит? (0,96)

Задача 13. Ковбой Джек попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если он стреляет из своих старых револьверов. Если Джек стреляет из нового револьвера, то он попадает с вероятностью 0,2. На столе лежат 10 револьверов, из которых 4 старых, а остальные новые. Джек видит на стене муху, наудачу хватает револьвер со стола и стреляет. Найдите вероятность того, что муха улетит. (0,52)

Задача 14. От пристани А до пристани В ежедневно ходит паром. Вероятность того, что в будний день на пароме окажется меньше 20 человек, равна 0,92. Вероятность того, что в будний день на пароме окажется меньше 13 человек, равна 0,59. Найдите вероятность того, что в будний день на пароме окажется от 13 до 19 человек. (0,33)

Задача 15. У заболевшего человека болезнь диагностируется с вероятностью 0,95. У здорового человека это заболевание диагностируется (из-за несовершенства аппаратуры) с вероятностью 0,02. В среднем при стандартных условиях вероятность заболеть 0,3. У человека диагностировали это заболевание. Какова вероятность того, что он здоров?

Задача 16. Две фабрики выпускают стаканы, которые реализуются в супермаркете «Посуда». Первая фабрика выпускает 30 % всего количества этой продукции. Первая фабрика производит 4 % брака, а вторая – 5 %. Найдите вероятность того, что купленный в гипермаркете бракованный стакан, изготовлен на второй фабрике.

Задача 17. Метеоусловия в местности N в период с 1 июня по 30 июля таковы, что если утро

– ясное, то вероятность осадков в этот день равна 0,1,

– пасмурное, то вероятность осадков в этот день равна 0,7.

Вероятность пасмурного утра в этот период равна 0,3. Найдите вероятность того, что в случайно выбранный день дождя не будет. (0,72)


Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *