Осторожно — заблуждения! Выпуск 2.

Сегодня поговорим об очень распространённом заблуждении, которое характерно в первую очередь для школьников, частенько встречается у студентов. 
И, к большому сожалению (пока, слава Богу и Аристотелю, не массово) им грешат некоторые учителя и преподаватели. Да и в литературе я нет-нет да встречу этот словесный оборот, от которого у меня возникает зубная боль в математической душе.

О чём я? 
О путанице между прямым и обратным утверждениями.

В школьной математике, преимущественно в геометрии, прямые и обратные теоремы носят названия «признак» и «свойство». Как-то так получилось, что большинство геометрических утверждений являются необходимым и достаточным условием какого-либо понятия. Например, для того, чтобы четырёхугольник был параллелограммом необходимо и достаточно, чтобы его противолежащие стороны были попарно равны.
Или вот ещё: четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих углов равны 180 градусам.
Наконец, два вектора будут перпендикулярными, если и только если, их скалярное произведение равно нулю.

Однако, не все утверждения, обратные известным теоремам, будут истинными. К примеру, равные углы не обязательно будут вертикальными.

Пусть дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, мы заключаем, что данный треугольник прямоугольный. 
Нам не приходит в голову обосновывать свой вывод самой теоремой Пифагора. Более того, если такое произойдёт, то нам укажут на логическую ошибку! 
И, кстати, правильно сделают.

Восклицания типа «но ведь понятно же, что я имел в виду!» аргументом не являются. С точки зрения формальной логики есть разница между ссылкой на прямую или обратную теорему.

Тогда у меня возникает вопрос:

можно ли находить корни квадратного уравнения с помощью «теоремы Виета»?

Давайте начнём сначала.

В 1646 году Франсуа Виет нашёл зависимость между корнями 
и коэффициентами многочлена степени n. Согласно тексту статьи 
в математическом энциклопедическом словаре (М., 1988) звучит эта теорема так:

пусть дан многочлен степени n с коэффициентами из некоторого поля и старшим коэффициентом 1; над полем, содержащим все его корни, многочлен разлагается на линейные множители:

тогда

«Школьная» теорема Виета является лишь частным случаем классической формулировки, да и то модифицированной. Действительно, зачем всем знать о формулах Виета для любых степеней многочлена? Кстати, заметьте — многочлена! 
А в учебниках речь идёт об уравнении. Это, конечно, для школьной математики не принципиальная разница, учитывая тесную связь многочленов и целых рациональных уравнений.

Но обратим внимание на то, что УСЛОВИЕМ теоремы является разложимость многочлена на линейные множители (иначе говоря, существование корней многочлена), а вот справедливость равенств, связывающих коэффициенты и корни, – это ЗАКЛЮЧЕНИЕ теоремы, то есть факт, который требует доказательства.

Тогда почему же тысячи преподавателей, учителей и репетиторов, а следом за ними и ученики, произносят сакраментальное – «найдём корни квадратного уравнения по теореме Виета»???!!!

Согласно школьной теореме Виета, у нас есть квадратное уравнение с уже наличествующими корнями (не поленитесь, прочтите это утверждение). 
А когда мы вознамерились только решить квадратное уравнение, мы даже ещё не уверены, есть у него корни или нет!
Как же мы можем применять теорему, если её условия не выполнены?

То есть, решать приведённое квадратное уравнение по теореме Виета НЕЛЬЗЯ!
А как можно?

Методом побора с проверкой по теореме, обратной тереме Виета.

Согласна, фраза слишком длинная, но ведь можно ограничиться просто «методом подбора»?

Итак, когда мы, глядя на «удобные» коэффициенты приведённого квадратного уравнения, благодаря нашему вычислительному опыту находим корни, то делаем это МЕТОДОМ ПОДБОРА.

Напомним теорему, обратную теореме Виета (школьной): если числа mnp и q таковы, что m + n = – p и mn = q, то числа m и являются корнями уравнения

Как говорится, почувствуйте разницу!

У меня просьба ко всем, кто в той или иной степени заинтересован 
в математической грамотности (своей или в принципе): давайте будем правильно называть метод подбора и скрупулёзно исправлять всех, кто говорит неправильно!

Обновлено: 15.07.2019 — 17:38

3 комментария

Оставить комментарий
  1. Thanks! And thanks for sharing your great posts every week!

  2. Thanks! And thanks for sharing your great posts every week!

  3. Thanks so much for the post.Really thank you! Keep writing.http://cilapharm.com/

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *