Пятница 13: календарно-математические аспекты

Мистический день – тринадцатое число, приходящееся на пятницу, – вызвал у нас число математический интерес.

Может ли случится такое, что год окажется настолько удачным, что не будет содержать ни одну пятницу с датой 13?

Оказывается – нет.

1. 13-е число наступает за день до окончания второй недели месяца. Поэтому, если месяц начался в воскресенье, то тринадцатое число обязательно попадёт на пятницу. Это, к слову, признак того, в каком месяце будет эта «замечательная» дата.

Но может быть есть год, все месяцы которого начинаются не в воскресенье?

2. Рассмотрим обыкновенный год (не високосный).

Пусть он начинается в понедельник (для простоты рассуждений и определённости). В январе 31 день, тогда 31 = 28 + 3, то есть 1 февраля, а потом и 1 марта придётся на четверг.
Далее 1 апреля придётся на четвёртый день, считая с четверга – на воскресенье. Так как в апреле 30 дней, то 1 мая будет третьим днём, начиная с воскресенья – вторником.

Рассуждая подобным образом, установим, что
– в понедельник начинаются январь и октябрь;
– во вторник – май;
– в среду – август;
– в четверг: февраль, март, ноябрь;
– в пятницу – июнь;
– в субботу: сентябрь и декабрь;
– в воскресенье: апрель и июль.

Вывод первый.
В году, не являющемся високосным, январь и октябрь начинаются в один день недели. То же самое касается сентября и декабря, а также апреля и июля. Три месяца – февраль, март и ноябрь начинаются в свой (один и тот же) день недели. А начало мая, июня и августа не совпадает по дню недели ни с какими другими месяцами.

Вывод второй.
В любой день недели начинается какой-нибудь месяц.

Вывод третий (следствие из второго вывода)
В любом не високосном году будет пятница, 13-е.

Вывод четвёртый.
Зафиксируем по порядку следования дней недели количество месяцев, начинающихся именно в этот день: 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2. С какого бы дня не начинался год, перестановка этих чисел в заданном порядке сохранится. Например, если год (не високосный!) начался в воскресенье, то этому году будет соответствовать последовательность 1, 1, 3, 1, 2, 2, 2. Для года с началом в среду – 2, 2, 2, 1, 1, 3, 1. Ну и так далее.

В том не високосном году, который начнётся во вторник (2, 2, 1, 1, 3, 1, 2), дней «пятница, 13» будет максимально возможное количество – три.

Вывод пятый.
Максимально возможное количество пятниц в не високосном году, на которые выпадает число 13 – три.

Теперь проведём аналогичные рассуждения для високосного года, начавшегося в понедельник. Результат в виде последовательности получится следующий:
3, 1, 1, 2, 2, 1, 2.

Вывод шестой.
Последовательность «3, 1, 1, 2, 2, 1, 2» содержит те же числа, что и предыдущая, но в другом порядке (сравните например
с «3, 1, 2, 2, 2, 1, 1»). Поэтому выводы второй, третий и пятый будут справедливы и для високосного года.

Для того чтобы в високосном году было три пятницы с датой 13 необходимо, чтобы он начинался с пятницы! Но такое бывает только раз в 28 лет.

3. А в каждый ли день недели может начинаться год? Чтобы доказать или опровергнуть эту гипотезу можно воспользоваться календарями предыдущих лет и, на основании полной индукции (перебором всех возможных вариантов), справедливо утверждать, что год может начинаться в любой день недели. А можно провести и самостоятельное исследование без привлечения дополнительных инструментов.

Воспользуемся тем фактом, что число дней в году делится на 7 (число дней в неделе) с остатком 1 (или 2, если год високосный).

То есть новый год начнётся в день недели, следующий за тем днём, которым начался текущий год в 365 дней.

Например, 2019 год начался во вторник, а 2020 – в среду. А вот 2021 начнётся не в четверг, а в пятницу, так как 2020 год високосный.

Результат оформим в таблицу (с учётом того, что каждый четвёртый год високосный):

Из таблицы видно, что и високосный, и обычный года могут начинаться в любой день недели.

Так что пятницы тринадцатого нам не избежать. Оценивать год можно  только с точки зрения количества таких дней:
один – спокойный год,
два – будь бдителен,
три – жизненный драйв обеспечен!

Обновлено: 12.03.2020 — 19:16

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *