Знак модуля в рациональных неравенствах

 Для начала сравним некоторые характеристики функции модуль числа и квадрата числа: y = |x| и y = x2.

Они обе:
– имеют своей областью определения все действительные числа;
– множество значений у той и другой неотрицательные числа;
– чётные;
– нуль в точке 0;
– до 0 убывают, после 0 возрастают (0 – точка минимума).

Разница, за исключением, конечно, собственно правила вычисления значения функции, только в том, что график одной прямолинейный, а у другой криволинейный. Ну и возрастание-убывание у функции y = x2 идёт быстрее.
(То, что y = |x| не дифференцируема в нуле, нам сейчас не важно.)

При одинаковых преобразованиях типа y = a(x – m)2 + ny = a|– m| + n схожесть свойств сохраняется абсолютно. И это может помочь
в решении рациональных неравенств, содержащих модуль.

С функцией, задаваемой квадратным трёхчленом, легко рассуждать: по знаку первого коэффициента можно определить её монотонность на правом промежутке области определения (для выяснения знака крайнего правого интервала); факт того, что квадратный трёхчлен раскладывается на различные множители (при D > 0 разумеется), говорит о том, что при переходе через нули знак функции будет меняться. Всё отлично!

А что с функцией y = |x|?

Если выяснение монотонность её на правом промежутке области определения не вызывает трудностей, то вот на множители модуль не раскладывается! Как же быть?

Решим для себя, что рассуждать для выражения (|x| – k) будем также, как для выражения (x2 – b).

Например, решаем неравенство (x2 – 9)(x – 5) > 0.

Находим нули левой части:  –3, 3, 5. Отмечаем эти точки на числовой прямой с учётом строгости неравенства. Так как все старшие коэффициенты положительные (иначе говоря, все линейные функции, входящие в неравенство, возрастающие), то крайний правый интервал будет со знаком плюс. Все контрольные точки имеют единичную кратность (не «опасные»), следовательно, при переходе знаки интервалов будут чередоваться. Выбираем нужные интервалы. Ну, вот и всё. Смотрите рисунок:

А теперь, решим неравенство (|x| – 9)(x – 5) > 0.
Выполняем все те же действия: нули левой части:  –9, 9, 5. Так как все старшие коэффициенты положительные, то крайний правый интервал будет со знаком плюс. Все контрольные точки имеют единичную кратность, то есть при переходе знаки интервалов будут чередоваться. Выбираем нужные интервалы.
Смотрите рисунок:

Чем отличается? Правильно, только значением контрольных точек.

Далее.

1. Если в левой части рационального неравенства встречается одно их выражений x2 + n или |x| + n, где n > 0, то ни то, ни другое на знак всего выражения оказывать не будут, так как всегда будут положительными
2. Если встретятся |x| или x2 в чистом, так сказать, виде, то их нули будут «опасными» точками. Для функции y = x2 ноль будет точкой с чётной кратностью, что очевидно. А для y = |x|, потому что в некотором роде она аналог первой.

Эти особенности вполне достоверны и имеют право на применение. Успехов в применении!

В следующий вторник начнётся октябрь. По традиции надо бы сменить тему. Посмотрим…
В любом случае до встречи!19

Обновлено: 30.09.2019 — 13:45

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *