Материалы будут здесь до наступления 2026 года
Эта страница создана для ответов на задачи Математического календаря, которые вручались в качестве подарков призёрам математического конкурса Кенгуру в России.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ (с заданиями и задачами для начинающих математиков)
Задача 08.24
Например, так:
При таком разбиении получится 1012 + 1011 = 2023 маленьких треугольников и один большой.
Всего получится 2024 треугольника, обладающих указанными в задаче свойствами.
Задача 09.24
202420242024 ∙ 2025 – 202520252025 ∙ 2024 = 2024 ∙ 2025 ∙ ( 100010001 – 100010001) = 0
Задача 10.24
Уменьшаемое – это сумма вычитаемого и разности (по определению вычитания). Значит сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности – это удвоенная сумма уменьшаемого. А раз так, то уменьшаемое равно 2024 : 2 = 1012.
Задача 11.24
Такого рода задачи решаются по принципу «наихудший вариант»:
– достаём первое яблоко, для определённости пусть оно будет красное (нам ведь без разницы, какого цвета будут яблоки);
– достаём второе яблоко, которое в случае худшего варианта будет жёлтым (если оно окажется красным, то это хорошо, но возможен и худший вариант);
– третье яблоко будет или красным или жёлтым; какого бы цвета оно ни было, такое яблоко у нас уже есть (первое – красное, второе – жёлтое).
Поэтому достаточно достать ТРИ яблока, чтобы условие задачи выполнялось.
Задача 12.24
Для получения ответа надо вспомнить про так называемый цифровой корень числа, который равен остатку от деления числа на 9 (цифровой корень чисел кратных 9 равен 9).
Поэтому последовательность получится такой:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, … , 8.
Задача 01.25
Решить задачу можно подбором, в котором поможет вычислительный опыт и математическая интуиция. А можно рассуждать вполне последовательно и рационально.
Во-первых, искомое число равно 2025 + <сумма цифр>.
Далее. Задуманное число не может быть однозначным, двухзначным или трёхзначным, так как самая маленькая сумма цифр этих чисел может быть равна 1. Но тогда 1 + 2025 – четырёхзначное число. Итак, ищем задуманное число среди четырёхзначных.
Наибольшая возможная сумма цифр четырёхзначного числа равна 36. Тогда искомое число находится в пределах от 2026 до 2061. Таким образом, первые две цифры мы определили.
Дальнейшие действия могут быть просто перебором:
2026 – (2 + 0 + 2 + 6) = 2026 – 10 ≠ 2025,
2027 – (2 + 0 + 2 + 7) = 2027 – 11 ≠ 2025,
2028 – (2 + 0 + 2 + 8) = 2028 – 12 ≠ 2025,
2029 – (2 + 0 + 2 + 9) = 2029 – 13 ≠ 2025,
2030 – (2 + 0 + 3 + 0) = 2030 – 5 = 2025.
Как минимум одно такое число мы нашли! Кенгуру задумал число 2030.
Есть ли другие числа, обладающие таким свойством, поищите самостоятельно.
Задача 02.25
Будем решать задачу поэтапно.
Для начала посчитаем, сколько всего существует однозначных, двузначных и трёхзначных чисел.
1. Однозначных чисел (натуральные числа, которые записываются ровно одной цифрой) девять, что очевидно:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. Выпишем все натуральные числа по порядку от 1 до 99:
1, 2, …8, 9, 10, 11, … , 97, 98, 99.
Всего чисел будет 99, из которых 9 однозначных, а остальные двузначные (натуральные числа, записанные ровно двумя цифрами). Тогда двузначных чисел будет 99 – 9 = 90.
3.Аналогично поступим для нахождения количества трёхзначных чисел (натуральные числа, записанные ровно тремя цифрами): 1, 2, … , 99, 100, 101, … , 999.
Понятно, что трёхзначных чисел будет 999 – 99 = 900.
4. А четырёхзначных по условию задачи записано: 2025 – 999 = 26.
5. Теперь считаем количество цифр:
1 × 9 + 2 × 90 + 3 × 900 + 4 × 26 =9 + 180 + 2700 + 104 =
= 2993.
Ответ: 2993.
Задача 03.25
Никаких вопросов задавать не надо!
Если в умножении участвовали все числа от 1 до 2025, то последней цифрой произведения будет ноль. Как минимум, в произведении будут множители 2 и 5, которые при умножении дадут 10.
А ведь чётных чисел и чисел оканчивающихся на 5 будет гораздо больше!
Задача 04.25
Если каждую секунду Кенгуру записывает одну цифру, а всего различных цифр четыре (и пишутся они в строгой последовательности), то число секунд, за которое можно записать несколько «полных комплектов» (1 2 3 4), будет кратно числу 4.
Число 2025 делится на 4 с остатком 1, следовательно, после того, как за 2024-ю секунду Кенгуру запишет цифру 4, в 2025-ю он напишет следующую цифру, то есть 1.
Задача 05.25
Шахматная фигура, которую называют королём, бьёт все соседние поля вокруг себя (и с общей стороной,
и с общей вершиной). Поскольку ставится задача о наибольшем количестве королей то нам надо, чтобы свободных клеток осталось как можно меньше.
Поэтому ставим первого короля в самую нижнюю левую клетку (условно назовём её 1.1 – первое число номер «столбца», второе – номер «строки»; идём снизу вверх и слева направо).
Тогда этот король будет бить клетки 1.2, 2.1 и 2.2.
Поставим второго короля на клетку 3.1. То, что клетки 2.1 и 2.2 будут бить оба короля – не страшно.
Правилами задачи это не запрещено. Главное – они не бьют друг друга.
Тогда получается, что в первой строке короли могут стоять в каждой нечётной клетке (всего 23), а вот вторая строка будет полностью «под контролем» королей с первой строки. Значит, во второй строке королей не будет совсем. Зато мы в третьей строке можем начинать ставить фигуры, начиная с клетки 1.3. И в этой строке тоже можно поместить 23 короля.
Получается, что королями будут заполнены все нечётные строки, то есть 23.
Тогда всего королей на поле будет 23 × 23 = 529 штук.
И это будет максимальное количество.
Задача 06.25
Если бы все числа были нечётными, то сумма этих 2025 чисел (нечётное количество) получилась бы нечётной. А у нас по условию сумма равна 2040, то есть по крайней мере одни из данных чисел чётное. Но тогда произведение этих чисел тоже будет чётным, а 24385 таковым не является.
Действительно, Кенгуру где-то обсчитался.
Задача 07.25
Рассмотрим две суммы чисел:
1 + 2 + 3 + … + 2023 + 2024 + 2025 и
2025 + 2024 + 2023 + … + 3 + 2 + 1.
Сложим попарно первые слагаемые, вторые и так дальше. Каждый раз получим 2026.
Таких попарных сумм будет 2025. Значит искомая сумма найдётся как
(1 + 2025) × 2025 : 2 = 2 051 325.
Задача 08.25
Конечно у Кенгуру число больше. Ведь в записи номера года есть цифра 0, которая соответствует числу 0, а значит произведение цифр года будет равно нулю. А сумма явно будет больше.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ (с заданиями и задачами для увлечённых математикой)
Задача 08.24
Рассуждать можно, например, так:
пусть искомое число x; и пусть уже при однократном повторении действий мы получим число 2024 (тогда при любом количестве повторений мы также будем получать 2024);
тогда можно построить уравнение x × 2 – 2024 = x.
Решив это уравнение мы получим, что исходным числом, которое не изменится в результате указанных в условии действий, может быть 2024.
Задача 09.24
Такое число есть, например, 202420242024…20242024
Группа цифр <2024> должна повториться 253 раза.
Такое число не единственное, например, если приписывать справа нули, то можно получить бесконечно много чисел с нужным свойством.
Вопрос вызывает, будет ли число, пример которого приведён, наименьшим?
Подумаем ещё?
Ответ пока не буду публиковать.
Задача 10.24
Для начала посчитаем, сколько прямых можно построить в принципе:
2023 + 2022 + 2021 + … + 1 = 1012×2023.
Это число не кратно 9, поэтому надо поделить с остатком: неполное частное и даст ответ на вопрос задачи. Получим 227475 дней. Это так много, что бананов хватит на всю жизнь!
Задача 11.24
Применим принцип «наихудшего варианта»: теоретически все первые 2024 попытки достать яблоко из ящика могут привести к тому, что яблоки будут одного цвета (все красные или все жёлтые). Если яблоки все были жёлтые, то на 2025 действии мы достанем красное (так как все жёлтые уже вынуты). Но нам никто не гарантирует, что мы будем доставать вначале только жёлтые яблоки. Поэтому в наихудшем варианте первые 2025 яблок все будут красные. И только на 2026 ход появится жёлтое яблоко.
Так что ответ: 2026.
Задача 12.24
Да, это число будет кратно 9, так как из цифр у него 1, 8 и куча нулей, что в сумме составит 9.
Задача 01.25
Кенгуру ошибся в своих расчётах. Такого числа не существует.
Действительно, трёхзначным число быть не может, значит, если оно существует, то оно четырёхзначное.
Пусть искомое число 1000a + 100b + 10c + n. Построим разность числа с суммой его цифр:
1000a + 100b + 10c + n – (a + b + c + n) = 999a + 99b + 9c.
Мы получили число кратное 9. А 2024 на 9 не делится!
Вот если бы в условии задачи стояло число 2025, было бы совсем другое дело.
Таких чисел десять:
2030 – (2 + 0 + 3 + 0) = 2030 – 5 = 2025,
2031 – (2 + 0 + 3 + 1) = 2031 – 6 = 2025,
2032 – (2 + 0 + 3 + 2) = 2032 – 7 = 2025,
…
2039 – (2 + 0 + 3 + 9) = 2039 – 14 = 2025.
Задача 02.25
Во-первых, такое число существует. Например, число состоящее только из единиц в количестве 2025 штук. Сумма цифр такого 2025-значного числа очевидно будет равна 2025.
Далее: такое число не будет единственным. Действительно, если мы заменим две единицы на одну двойку, то сумма цифр не изменится, а вот чисел таких (одна двойка и 2023 единицы) будет уже две тысячи двадцать четыре. Но ведь можно заменить не две единицы, а четыре единицы на две двойки или три единицы на тройку. Словом, очень много получится таких чисел.
Наименьшим из всех чисел с суммой цифр 2025 будет такое, у которого а) меньше всего разрядов; б) самая первая цифра наименьшая из возможных.
Уменьшить количество разрядов числа можно тем, что будем брать цифру наибольшего «веса», то есть девятку. 2025 : 9 = 225. Получается, что нам необходимо взять 225 девяток. Это будет число, сумма цифр которого равна 2025, но с самым меньшим количеством разрядов. Оно и будет наименьшим.
Отсутствие нулей в записи числа не позволяет получить бесконечное количество таких чисел (именно добавление нулей не изменит сумму цифр), поэтому количество чисел, сумма цифр которых равна 2025, конечно. Наибольшим будет наше первое число, состоящее из одних единиц.
Задача 03.25
Число 2025! – это произведение всех последовательных натуральны чисел от 1 до 2025.
Количество нулей на конце такого произведения будет зависеть от количества множителей, кратных 5. Все они при умножении на чётное число (а их будет гораздо больше) дадут ноль, а иногда и не один.
Всего чисел кратных 5 среди множества {1, 2, 3, 4, 5, … , 2025} – 405
(это можно посчитать с помощью формулы n-го члена арифметической прогрессии,
у которой a₁= 5, d = 5 и aₙ = 2025).
Аналогично посчитаем количество чисел кратных 25 (a₁= 25, d = 25 и aₙ = 2025) – их 81,
125 (a₁= 125, d = 125 и aₙ = 2000) – их 16,
и 625 (a₁= 625, d = 625 и aₙ = 1875) – их всего 3.
Теперь – внимание! –
1) три числа, кратные 625, будут кратны и 125, и 25, и 5; поэтому из 405, 81 и 16, надо это количество удалить; иными словами чисел, кратных 5, 25 и 125, но не кратных 625 будет соответственно: 402, 78 и 13;
2) аналогично рассуждая, получим, что чисел кратных 5 и 25, но не кратных 125 и 625, будет соответственно 389 и 65;
3) наконец, чисел, кратных 5, но не кратных 25, 125 и 625, будет 324.
Тогда 324 числа, кратных только 5, дадут нам 324 нуля;
65 чисел, кратных 25, дадут 65 × 2 = 130 нулей;
13 чисел, кратных 125, – 13 × 3 = 39 нулей;
3 чисел, кратные 625, – 3 × 4 = 12 нулей.
Итого: 324 + 130 + 39 + 12 = 505 нулей.
Задача 04.25
Для того, чтобы сравнить числовые выражения 20252024 ∙ 20252026 (произведение) и 20252025² (квадрат) вспомним о формуле сокращённого умножения, а именно – разность квадратов:
20252024 ∙ 20252026 = (20252025 – 1) ∙ (20252025 + 1) = 20252025² – 1.
То есть произведение будет меньше квадрата.
Задача 05.25
Шахматная фигура, которую называют ладьёй, бьёт все поля по вертикали и горизонтали на любое расстояние. Поскольку ставится задача о наибольшем количестве ладей то нам надо, чтобы свободных клеток осталось как можно меньше.
Поэтому ставим первую ладью в самую нижнюю левую клетку (условно назовём её 1.1 – первое число номер «столбца», второе – номер «строки»; идём снизу вверх и слева направо).
Тогда эта ладья будет бить все оставшиеся клетки первого столбца и первой строки.
Поставим вторую ладью на клетку 2.2. и будем так продолжать ставить фигуры по диагонали.
Количество клеток на диагонали доски столько же, сколько клеток в строке (или в столбце, без разницы).
Получается, что всего ладей на поле будет 45 штук. И это будет максимальное количество.
Задача 06.25
Квадратные уравнения составлены так, что их коэффициенты обладают одним из двух свойств.
1. Если сумма коэффициентов равна нулю, то один из корней этого уравнения 1, а второй можно найти как результат деления третьего коэффициента на первый.
Поэтому корни второго уравнения – 1 и 2024; третьего – 1 и −2025.
2. Если сумма первого и третьего коэффициентов равна второму, то один из корней этого уравнения −1, а второй можно найти как результат деления третьего коэффициента на первый взятый с противоположным знаком.
Корни первого уравнения – (−1) и (−2024), четвёртого – 2025 и −1.
Задача 07.25
Преобразуем искомую сумму:
1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! + 3 ∙ 3! + … + 2025 ∙ 2025! =
= (2 − 1) ∙ 1! + (3 − 1) ∙ 2! + (4 − 1) ∙ 3! + … (2026 − 1) ∙ 2025! =
= 2 ∙ 1! − 1 ∙ 1! + 3 ∙ 2! − 1 ∙ 2! + … + 2026 ∙ 2025! − 1 ∙ 2025! =
= 2 ∙ 1! − 1! + 3 ∙ 2! − 2! + … + 2026 ∙ 2025! − 2025! =
= 2 ∙ 1! + 3 ∙ 2! + … + 2026 ∙ 2025! − 1! − 2! − … − 2025! =
= 2! + 3! + … + 2026! − 1! − 2! − … − 2025! =
= 2026! − 1! = = 2026! − 1.
Вычислять факториал числа 2026 не будем. Допускается оставлять ответ в таком виде.
Задача 08.25
Вспомним про единственное свойство факториала: n! = (n – 1)! × n.
Решение на картинке:
Математический календарь на 2024–2025 учебный год завершён.
Всем желаю только самого хорошего: благополучия, здоровья, очередных побед и свершений.