Эта страница создана для ответов на задачи Математических календарей, которые вручались в качестве подарков призёрам математического конкурса Кенгуру в России в 2025 году.
Ответы появляются на первой неделе месяца, который следует за тем, в котором задача была предложена (например, ответ на задачи февраля будет опубликован на первой неделе марта и так далее).
В тексте, посвящённом свойствам числа 2026, обнаружилась ошибка: число 2026 не раскладывается на сумму последовательных простых слагаемых. Эта информация – случайное недоразумение, за что автор приносит искренние извинения.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ (с заданиями и задачами для юных любителей математики)
Август, 2025
1) Скорее всего, у Кенгуру не получится только с помощью четырёх арифметических действий из упорядоченного набора чисел 2, 0, 2 и 5 получить число 8. Но если немного изменить условие, то, возможно что-то и получится.
2) Например, 88 ∙ (8 + 8 + 8) − 88 + 8 : 8 = 2025.
Сентябрь, 2025
1) В этот раз всё просто: 2 + 0 + 2 + 5 = 9.
2) Например, (9 + 9) ∙ (99 + 9) + 9 ∙ 9 = 2025.
3) Для решения задачи привлечём в помощь таблицу, в которой расположим числа особенным образом: в первой строке так, как они записаны в задании, во второй строке – в обратном порядке.
Заметим, что в первом столбце оказались числа, стоящие на первом месте с начала и с конца суммы; во втором столбце записаны числа, стоящие на втором месте с начала и с конца и так далее.
Теперь ещё заметим, что суммы чисел в каждом столбце равны. И таких столбцов у нас получилось 2025.
Тогда всю сумму можно посчитать так:
1 шаг. 2026 ∙ 2025, но тогда все числа в этот результат будут входить дважды (один раз из первой строки, другой – из второй); значит надо поделить на 2.
2 шаг. 2026 ∙ 2025 : 2 = 2051325.
Ответ: 2051325.
Октябрь, 2025
1) Например, 10 + (9 + 8 × 7 × 6 − 5 − 4) × 3 × 2 − 1 = 2025.
2) Таких чисел десять: 2030, 2031, 2032, 2033, 2034, 2035, 2036, 2037, 2038 и 2039.
Проверьте!
(В ноябре задачи не предусматривались)
Декабрь, 2025
Например, так:
2025 + 1 + 2 + 3 − 4 − 5 − 6 − 7 + 8 + 9 = 2026.
Январь, 2026
1) Скорее всего, у Кенгуру не получится только с помощью четырёх арифметических действий из упорядоченного набора чисел 2, 0, 2 и 6 получить число 1. Когда-нибудь вы изучите понятие факториала, вот его можно было бы использовать в этой задаче.
2) Например, (1 + 1) ∙ (1111 − 111 + 11) + 1 + 1 + 1 + 1 = 2026.
3) По условию первые два числа должны в сумме давать 2025, а первые три – 2026, значит третье число равно 1. Но сумма второго и третьего также равна 2025, следовательно второе число – 2024.
Рассуждая аналогично, получаем пять искомых чисел: 1, 2024, 1, 2024, 1.
Февраль, 2026
Март, 2026
Апрель, 2026
Май, 2026
Июнь, 2026
Июль, 2026
Август, 2026
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ (с заданиями и задачами для начинающих математиков)
Август, 2025
2025 + 2024 + … + 2 + 1 = (2025 + 1) ∙ 2025 : 2 = 2051325
Ответ: 2051325.
Сентябрь, 2025
С красной точкой многоугольников будет больше.
Рассмотрим только белые точки. И всевозможные многоугольники (от треугольников до 2025-угольника). Теперь в каждом из них заменим одну белую точку красной. Получим такое же количество многоугольников с красной точкой. Но красной можно было заменить любую другую белую точку, при этом получился бы другой многоугольник.
Октябрь, 2025
Последовательность из пяти чисел, обладающая заданными свойствами:
1, 2024, 1, 2024, 1.
Ноябрь, 2025
20252025202520252025
↓20252025202520252025
↓
52025202520252025
↓
55202520252025
↓
55520252025
↓
5552252025
Декабрь, 2025
Например, так:
2025 + 1 − 2 + 3 − 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − 9 = 2026.
Январь, 2026
Количество слагаемых чётное, значит их можно разбить на пары: первое и последнее, второе и предпоследнее и так далее (равноудалённые от концов данного ряда). Тогда 2026 + 1 = 2027 – последняя цифра 7, а таких сумм будет 2026 : 2 = 1013. Следовательно, последняя цифра всей суммы будет совпадать с последней цифрой произведения 7 ∙ 3, то есть это будет едиица.
Февраль, 2026
Март, 2026
Апрель, 2026
Май, 2026
Июнь, 2026
Июль, 2026
Август, 2026
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ (с заданиями и задачами для увлечённых математикой)
Август, 2025
20262 – 20252 = (2026 − 2025) ∙ (2026 + 2025) = 1 ∙ 4051 = 4051
Ответ: 4051.
Сентябрь, 2025
Чтобы число было кратно 2025, оно должно без остатка делиться на 25 и 81.
То есть в разложении на множители в произведении должно быть не менее четырёх чисел 3 и не менее 5. Составим таблицу, чтобы понять принцип поиска:
Чтобы получить второй множитель равный 5, надо добраться о 10 (10 = 5 ∙ 2).
Посчитаем, сколько в этом случае будет множителей равных 3:
3, 6 (6 = 3 ∙ 2), 9 (9 = 3 ∙ 3) – как раз четыре. Отлично!
Значит число 10! будет кратно 2025.
Ответ: n = 10.
Октябрь, 2025
Уравнение имеет единственный корень −2025. Его можно найти прикидкой и рассуждениями.
А можно через введение новой неизвестной t = x + 2025.
Ноябрь, 2025
Да, верно.
1. Если мы возьмём одну полоску, утверждение верно с очевидностью.
2. Пусть мы расположили первую полоску горизонтально (для определённости). Если теперь вторую полоску (третью, четвёртую и т.д.) располагать параллельно под первой, то утверждение также верно.
3. Если же вторую полоску расположить вертикально и ниже первой, то для получения прямоугольника надо взять ещё 2024 полоски и расположить их под первой параллельно второй. Но в этом случае тоже останется сторона (горизонтальная) прямоугольника кратная 2025.
4. Теперь вторую полоску расположим вертикально, но рядом с первой, скажем, справа. Тогда длина горизонтальной сторона прямоугольника будет 2026. Но для получения прямоугольника необходимо заполнить места слева от второй полоски и ниже первой. Тогда теперь уже длина вертикальной стороны прямоугольника будет равна 2025.
Декабрь, 2025
Да, сможет. Доказать это можно методом полной математической индукции.
Пусть n = 1. Тогда доска получится размером 2 × 2, а без одной угловой клетки как на рисунке слева.
Очевидно, что это и есть нужный «уголок».
Допустим, что для n = k доску можно разрезать на такие «уголки».
Теперь возьмём четыре таких доски (2k × 2k) и расположим как на цветном рисунке.
Во-первых, размеры получившейся доски 2k + 1 × 2k + 1, то есть n = k + 1.
Действительно, 2k + 2k = 2k × (1 + 1) = 2k × 2 = 2k + 1.
Во-вторых, эта новая доска обладает свойством «быть без угловой клетки».
В-третьих, каждая из трёх взятых досок может быть разрезана на «уголки» по допущению, а «дырка» имеет нужную нам форму.
Теперь понятно, что полученная доска размером 2k + 1 × 2k + 1 может быть разрезана на «уголки».
Январь, 2026
Это число n = 10: 20 × 10 + 26 = 2026 – это наименьшее натуральное число кратное 2026.
Если уменьшать n, то и само число (26n + 26) будет уменьшаться, а этого не должно случиться.
Февраль, 2026
Март, 2026
Апрель, 2026
Май, 2026
Июнь, 2026
Июль, 2026
Август, 2026