Отрывки из книг

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ: ОТ определения ДО применения
§35. БА, ЗНАКОМЫЕ ВСЁ ЛИЦА!

Как же радуются студенты, изучающие курс высшей математики, когда после достаточно сложного раздела «Дифференциальные уравнения первого порядка» начинают знакомиться с «дифурами» второго порядка.

Неизвестной в дифференциальных уравнениях является некоторая функция, которую и надо найти по некоторым заданным условиям, а именно по взаимосвязи её самой с её же производными, а также с независимой переменной.

Вернёмся к студентам и дифференциальным уравнениям второго порядка. По логике, «второй порядок» предполагает некоторое усложнение – порядок-то выше! Да, там действительно всё весьма интересно, но на первом этапе приходится решать квадратные уравнения. И это приводит студентов в восторг!

Объяснимся.

Уравнение вида ay´´ + by´ + cy = 0 называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

А теперь подробно.

Такое уравнение является
– дифференциальным потому, что содержит производные функции (y´´ и y´);
– второго порядка, так как содержит производную второго порядка (y´´), или по другому вторую производную;
– однородным, так как и сама функция (y) и её производные содержатся в одной и той же степени, а кроме того, правая часть уравнения равна нулю;
– линейным, поскольку степень у функции и её производных первая.

Ну и раз числа ab и c – это конкретные данные числа, постоянные для данного уравнения, то понятно почему в термин входит оборот «с постоянными коэффициентами».

Так вот решение такого дифференциального уравнения (не будем заново перечислять все его эпитеты) начинается с построения характеристического уравнения ak2 + bk + c = 0, то есть квадратного!

В зависимости от знака дискриминанта характеристическое уравнение имеет разный набор корней (два различных действительных, два равных действительных или два комплексных сопряжённых числа), от чего зависит вид искомой функции.

Вот так-то!