Отрывки из книг

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ: ОТ определения ДО применения
§34. ПОМОЩЬ СЕБЕ ПОДОБНЫМ

Если принять за факт, что уравнение второй степени с параметром и одной неизвестной не является в общем случае квадратным уравнением, то понятное дело, что при решении первых непосредственно применяется теория вторых.

Рассмотрим уравнение a (p) xb (p) x + c (p) = 0, где x — неизвестная, а p — параметр.

Какие существуют варианты требований в задачах, условия которых содержат уравнения с параметрами?

1. Решить уравнение при всех допустимых значениях параметра, в том числе исследовать количество корней.
2. Найти множество значений параметра, при которых выполняется какое-то определённое условие (числовое соотношение).

В первом варианте задачи процесс её решения должен учитывать все ключевые особенности, накладываемые на числа, входящие в квадратное уравнение или получаемые по ходу решения.

Так при решении уравнения 
a (p) xb (p) x + c (p) = 0 в первую очередь необходимо рассмотреть случай a (p) = 0, который «превращает» данное уравнение в линейное. Те значения p, при которых это выполняется, называют контрольными значениями параметра. Они принципиально меняют тип уравнения, что влияет на способ нахождения корней.

После мы рассматриваем ситуацию a (p) ≠ 0, когда данное уравнение будет квадратным. Далее уже следующими контрольными значениями параметра будут те, которые обращают в нуль дискриминант D = b2 (p) — 4a (p) c (p). Потому, что от этого зависит наличие корней (действительных).

При втором типе задач мы сразу вспоминаем, каким соотношениям должны подчиняться коэффициенты квадратного уравнения, чтобы выполнялось заданное условие. Далее сформулируем всевозможные требования.

При каких значениях параметра p уравнение 
a (p) xb (p) x + c (p) = 0

— не имеет корней;
— имеет, как минимум один корень;
— имеет единственный корень;
— имеет более одного корня;
— имеет ровно два корня;
— имеет более двух корней (бесконечное число корней)?

Перечислим условия выполнения этих требований (без подробных комментариев, особенно относительно линейного уравнения).

Уравнение не имеет корней:
1) a (p) = b (p) = 0 и c (p) ≠ 0;
2) a (p) ≠ 0 и b2 (p) — 4a (p) c (p) <0.

Уравнение имеет, как минимум один корень:
1) a (p) = b (p) = c (p) = 0;
2) a (p) = 0 и b (p) ≠ 0;
3) a (p) ≠ 0 и b2 (p) — 4a (p) c (p) ≥ 0.

Уравнение имеет единственный корень:
1) a (p) = 0 и b (p) ≠ 0;
2) a (p) ≠ 0 и b2 (p) — 4a (p) c (p) = 0.

Когда при решении уравнений с параметром второй степени ставится вопрос о значениях параметра, при которых уравнение имеет единственный корень, то надо понимать, что авторы задачи имеют в виду
а) единственный корень линейного уравнения; 
б) два равных корня квадратного.

Уравнение имеет более одного корня (различные):
1) a (p) = b (p) = c (p) = 0;
2) a (p) ≠ 0 и b2 (p) — 4a (p) c (p)> 0.

Уравнение имеет ровно два корня (различные):
a (p) ≠ 0 и b2 (p) — 4a (p) c (p)> 0.

Уравнение имеет более двух корней (то есть бесконечно много): a (p) = b (p) = c (p) = 0.

Применение теории квадратных уравнений для решения уравнений с параметром второй степени возможно не только как «теоретическая база», но и в качестве инструмента. Ведь если a (p), b (p) или c (p) даны нам в виде квадратного трёхчлена, то в ряде случаев придётся решать квадратные уравнения напрямую.

Например, дано уравнение 
(a2 — 5a +6) x2 + (a2 — 2x) x + a2 — 4 = 0.
При каких значениях параметра, уравнение имеет бесконечное число корней?

Вот вам теория квадратных уравнений в действии.

Мы не ставили перед собой цели разобрать в этой книге весь спектр возможных способов и приёмов решения уравнений второй степени с параметром и одной неизвестной. Нам важно только продемонстрировать «инструментальность» теории квадратных уравнений.