Заметки математика

Сериал про таблицы. Серия 2 «Философия в действии»

Так называемый «Квадрат Декарта», о котором мы говорили в прошлом выпуске заметок очень хорошо иллюстрирует философский принцип «Закон отрицания отрицания».

Действительно, если двигаться от верхнего левого квадранта вправо, а затем вниз (или вниз, а потом вправо), то мы получим как раз двойное отрицание.

Покажу на примере умножения чисел с одинаковыми и разными знаками.

Знак минус здесь как раз выполняет «функцию» отрицания.

Аналогичная таблица возможна для применения пожалуй в любом случае, когда объектов (качеств, различий и проч.) два. Лишь бы это имело какой-то определённый смысл.
Например, характер монотонности функции: возрастание и убывание. Есть, конечно, ещё и постоянная, но она, как правило, не создаёт проблем.

Рассмотрим сложную функцию y = f (g (x)). Будем называть f внешней функцией, а g – сложным аргументом. Тогда имеет место быть закономерность, которая представлена в таблице.

«Роль» отрицания играет убывание.

На наше счастье, что знаков (плюс-минус), что характеров монотонности всего два. Поэтому последовательное отрицание ведёт просто к чередующейся последовательности: плюс, минус, плюс, минус… Или: возрастает, убывает, возрастает, убывает…

Пример. Определить характер монотонности функции y = lg(4–0,5x).
Последовательность функций: показательная, линейная (относительно показательной), логарифмическая (относительно той самой линейной). Показательная убывает (основание меньше единицы), линейная убывает (угловой коэффициент отрицательный), логарифмическая возрастает (основание больше 1).
Тогда: «убывание на убывание» даёт нам возрастание, а возрастающая от возрастающей остаётся возрастающей.
Ответ: функция возрастает на всей области определения.

Вопрос читателям: можно ли таким образом определить чётность сложной функции y = f (g (x)), если допустить, что и внешняя функция и сложный аргумент обладают этим свойством (то есть или чётные, или нечётные в любом сочетании)?