Тема сегодняшней статьи навеяна мне опять же просмотром интернет-ресурсов.
Сначала вспомним.
В математических текстах есть несколько видов предложений, которые отличаются друг от друга форматом формулировок и – прежде всего! – своим назначением. Перечислим их:
– определения,
– аксиомы,
– теоремы.
Правила и формулы, которые встречаются на страницах учебников, либо являются неявными определениями (например, построение точки симметричной данной относительно прямой) или теоремами (скажем, формулы приведения или корней квадратного уравнения).
Сегодня мы поговорим об определениях.
Чаще всего в жизни мы пользуемся дескриптивными определениями (через ближайшее родовое понятие и указание видовых отличий):
– ромб – это четырёхугольник, у которого все стороны равны;
– стул – это мебель определённой конструкции, на которой сидят;
– учебник – это книга, по которой учатся;
– ворона – это птица, обладающая рядом отличительных признаков;
– осень – это время года, которое…
И так далее.
В математике (на самом деле не только в ней) разнообразия
в разновидностях определений понятий больше.
Определение дескриптивного вида может походить своей формулировкой на импликативную теорему
(с оборотом «если…, то…»). Например,
Если в параллелограмме все углы прямые, то он называется прямоугольником.
Но отличие в том, что доказывать здесь ничего не надо. Более того, бессмысленно!
Определения не доказываются!
Никогда, ни кем, не при каких обстоятельствах.
Как говорится «по определению».
Другое дело, что определяемый объект может не существовать в рамках той или иной теории, но для этого как раз есть теоремы существования. А определения не требуют доказательства, как и аксиомы!
Путаница начинается в тех ситуациях, когда некоторое понятие мы определяем условным соглашением. То есть в математике «договорились» об этом и с этим согласились. Возможно, что исторически всё могло быть по-другому, но теперь уже ничего не изменишь! Как азбуку Морзе, которая сконструирована не оптимальным образом, но уже принята, как есть.
Или, к слову, десятичная система счисления значительно уступает по «математическим соображениям удобности» двенадцатеричной. Но ведь переходить на неё уже просто не целесообразно!
Так вот, вернёмся к определению «условное соглашение». Приведём примеры таких определений.
1. Степенью с натуральным показателем, называется произведение равных между собой множителей.
Это определение, конечно можно рассматривать и как дескриптивное (произведение, у которого множители равны). Но если вдуматься, то понятие степени возникло не столько из практических нужд
(в реальном мире нужна максимум третья степень), сколько из стремления математиков упростить запись «aaaaaaaaaaaaaaa». Договорились, что количество множителей будут писать вверху справа меньшим размером. А ведь могли договориться и по-другому: внизу, вверху, обвести в кружок, в квадрат, да мало ли способов может придумать математик…
2. Любое число в первой степени равно самому себе.
3. Любое не нулевое число в нулевой степени равно 1.
Очень часто эти определения пытаются доказать: мол, они следуют из свойств степени.
Спешу огорчить: нет, не доказываются эти утверждения (про первую и нулевую степень).
Да, безусловно, свойства степени сыграли определённую роль, но это не доказательство.
Математики опять договорились, что a1 = a и a0 = 1 (при a ≠ 0).
То же самое касается и степени с целым (отрицательным) показателем. Все определения, касающиеся степени – это условные соглашения.
Свойства степени можно использовать как методический инструмент, позволяющий проиллюстрировать, почему такие соглашения имеют смысл и работают. Но не более.
Сейчас у некоторых, возможно произойдёт разрыв шаблона:
правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями – это тоже определение.
И тоже условное соглашение. Несмотря на то, что это продиктовано, в том числе, и здравым смыслом, и практикой.
Математики договорились, что сложение дробей будет выполняться именно так, а не иначе!
Существует аналогичный подход к построению множества комплексных чисел.
Сначала формулируется определение (условное соглашение, разумеется): комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел (α; β).
Число (0; 1) называется мнимой единицей.
Далее точно также – условным соглашением – определяются арифметические операции над комплексными числами.
В частности, произведением двух комплексных чисел (α1; β1) и (α2; β2) называется комплексное число
(α1α2 – β1β2; α1β2 + α2β1).
Вот из этого определения и получается, что квадрат мнимой единицы равен –1.
Одним словом, когда говорите, объясняете, транслируете на публику, то осторожно употребляйте глаголы по отношению к существительным.
Это, кстати, всеобщая проблема русскоязычного педагогического пространства в последнее время.