Возможно, я изобретаю велосипед, но до сего дня этот факт я нигде в литературе не встретила. То ли не те книги смотрела, то ли те, но не внимательно, то ли этот факт настолько очевиден, что только я одна до него не догадалась…
Начну из далека.
Достаточно давно, очень много лет назад, я в какой-то книге по математике (честно – не помню какой) наткнулась на две задачи. Вот они.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник, в котором проведена высота к гипотенузе. Докажите, что
а) квадрат радиуса описанной около данного треугольника окружности равен сумме квадратов окружностей, описанных около треугольников, на которые разбивает данный треугольник высота;
б) квадрат радиуса вписанной в данный треугольник окружности равен сумме квадратов окружностей, вписанных в треугольники, на которые разбивает данный треугольник высота.
Задача под буквой а элементарна: применяем теорему Пифагора и тот факт, что радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы.
Задача под буквой б мне в то незапамятное время не далась. Я полезла в раздел «Решения и ответы» и ознакомилась с вариантом доказательства. Мне он показался очень трудным. Сейчас я уже не помню всех подробностей, но текста мелким шрифтом было представлено на полстраницы точно.
Я вспомнила об этом математическом факте, когда в одном из вариантов КИМов итоговых испытаний наткнулась на его вольную вариацию. Зная истинность утверждения первоначальной задачи (под буквой б) решить нынешнюю экзаменационную было легко и просто.
Но! Точно также легко и просто можно было её решить и без упомянутого утверждения.
Однако способ решения «современной» задачи натолкнул меня на лёгкий путь для доказательства той, «старой» задачи.
Более того, у меня в голове возникла гипотеза, которую я доказала (как это ни странно ночью, во сне). Итак.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник, в котором проведена высота к гипотенузе.
Понятно, что получившиеся два треугольника (для определённости будем назвать их маленький и средний) подобны данному треугольнику (по двум углам). Тогда ВСЕ соответствующие линейные элементы данного и двух других треугольников (обозначим их t, tм и tс соответственно) будут связаны равенством: tм2 + tс2 = t2.
Действительно, из школьного курса геометрии мы знаем, что если треугольники подобны, то отношение всех их соответствующих линейных элементов равно коэффициенту подобия.
Найдём коэффициенты подобия из отношения гипотенуз:
маленького и данного треугольников b : c = cos α;
среднего и данного треугольников a : c = sin α.
Но тогда для любых соответствующих элементов подобных треугольников tм : t = cos α и tс : t = sin α или tм = t cos α, tс = t sin α. Составляем сумму tм2 + tс2 и преобразуем её:
tм2 + tс2 = (t cos α)2 + (t sin α)2 = t2 (cos2 α + sin2 α) = t2.
Теорема Пифагора – это наша установленная зависимость для гипотенуз подобных треугольников, то есть случай, когда tм = b, tс = a, t = с.
Но в качестве t можно взять и радиусы вписанных окружностей, и медианы проведённые к соответствующим сторонам (гипотенузам, или катету прилежащему к равным острым углам), и биссектрисы конкретного острого угла, и вообще произвольный отрезок, построенный в каждом треугольнике по одному определённому правилу.
По моему этот факт целесообразно включить в школьные учебники геометрии, и пользоваться им наряду с другими признанными теоремами.
Буду благодарна, если мне сообщат, что моё «открытие» вторично, с удовольствием приму информацию о первоисточнике этого утверждения.