Эта страница создана для ответов на задачи Математического календаря, которые вручались в качестве подарков призёрам математического конкурса Кенгуру в России.
Ответы будут появляться на первой неделе месяца, который следует за тем, в котором задача была предложена (ответ на задачу ноября будет дан в декабре и так далее).
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ (с заданиями и задачами для начинающих математиков)
Задача 08.24
Например, так:
При таком разбиении получится 1012 + 1011 = 2023 маленьких треугольников и один большой.
Всего получится 2024 треугольника, обладающих указанными в задаче свойствами.
Задача 09.24
202420242024 ∙ 2025 – 202520252025 ∙ 2024 = 2024 ∙ 2025 ∙ ( 100010001 – 100010001) = 0
Задача 10.24
Уменьшаемое – это сумма вычитаемого и разности (по определению вычитания). Значит сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности – это удвоенная сумма уменьшаемого. А раз так, то уменьшаемое равно 2024 : 2 = 1012.
Задача 11.24
Такого рода задачи решаются по принципу «наихудший вариант»:
– достаём первое яблоко, для определённости пусть оно будет красное (нам ведь без разницы, какого цвета будут яблоки);
– достаём второе яблоко, которое в случае худшего варианта будет жёлтым (если оно окажется красным, то это хорошо, но возможен и худший вариант);
– третье яблоко будет или красным или жёлтым; какого бы цвета оно ни было, такое яблоко у нас уже есть (первое – красное, второе – жёлтое).
Поэтому достаточно достать ТРИ яблока, чтобы условие задачи выполнялось.
Задача 12.24
Задача 01.25
Задача 02.25
Задача 03.25
Задача 04.25
Задача 05.25
Задача 06.25
Задача 07.25
Задача 08.25
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ (с заданиями и задачами для увлечённых математикой)
Задача 08.24
Рассуждать можно, например, так:
пусть искомое число x; и пусть уже при однократном повторении действий мы получим число 2024 (тогда при любом количестве повторений мы также будем получать 2024);
тогда можно построить уравнение x × 2 – 2024 = x.
Решив это уравнение мы получим, что исходным числом, которое не изменится в результате указанных в условии действий, может быть 2024.
Задача 09.24
Такое число есть, например, 202420242024…20242024
Группа цифр <2024> должна повториться 253 раза.
Такое число не единственное, например, если приписывать справа нули, то можно получить бесконечно много чисел с нужным свойством.
Вопрос вызывает, будет ли число, пример которого приведён, наименьшим?
Подумаем ещё?
Ответ пока не буду публиковать.
Задача 10.24
Для начала посчитаем, сколько прямых можно построить в принципе:
2023 + 2022 + 2021 + … + 1 = 1012×2023.
Это число не кратно 9, поэтому надо поделить с остатком: неполное частное и даст ответ на вопрос задачи. Получим 227475 дней. Это так много, что бананов хватит на всю жизнь!
Задача 11.24
Применим принцип «наихудшего варианта»: теоретически все первые 2024 попытки достать яблоко из ящика могут привести к тому, что яблоки будут одного цвета (все красные или все жёлтые). Если яблоки все были жёлтые, то на 2025 действии мы достанем красное (так как все жёлтые уже вынуты). Но нам никто не гарантирует, что мы будем доставать вначале только жёлтые яблоки. Поэтому в наихудшем варианте первые 2025 яблок все будут красные. И только на 2026 ход появится жёлтое яблоко.
Так что ответ: 2026.
Задача 12.24
Задача 01.25
Задача 02.25
Задача 03.25
Задача 04.25
Задача 05.25
Задача 06.25
Задача 07.25
Задача 08.25