Автор нашла в тексте календаря ошибку! Число 2025 будет не избыточным, а недостаточным.
Приношу искренние извинения!
Эта страница создана для ответов на задачи Математического календаря, которые вручались в качестве подарков призёрам математического конкурса Кенгуру в России.
Ответы будут появляться на первой неделе месяца, который следует за тем, в котором задача была предложена (ответ на задачу января будет дан в феврале и так далее).
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ (с заданиями и задачами для начинающих математиков)
Задача 08.24
Например, так:
При таком разбиении получится 1012 + 1011 = 2023 маленьких треугольников и один большой.
Всего получится 2024 треугольника, обладающих указанными в задаче свойствами.
Задача 09.24
202420242024 ∙ 2025 – 202520252025 ∙ 2024 = 2024 ∙ 2025 ∙ ( 100010001 – 100010001) = 0
Задача 10.24
Уменьшаемое – это сумма вычитаемого и разности (по определению вычитания). Значит сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности – это удвоенная сумма уменьшаемого. А раз так, то уменьшаемое равно 2024 : 2 = 1012.
Задача 11.24
Такого рода задачи решаются по принципу «наихудший вариант»:
– достаём первое яблоко, для определённости пусть оно будет красное (нам ведь без разницы, какого цвета будут яблоки);
– достаём второе яблоко, которое в случае худшего варианта будет жёлтым (если оно окажется красным, то это хорошо, но возможен и худший вариант);
– третье яблоко будет или красным или жёлтым; какого бы цвета оно ни было, такое яблоко у нас уже есть (первое – красное, второе – жёлтое).
Поэтому достаточно достать ТРИ яблока, чтобы условие задачи выполнялось.
Задача 12.24
Для получения ответа надо вспомнить про так называемый цифровой корень числа, который равен остатку от деления числа на 9 (цифровой корень чисел кратных 9 равен 9).
Поэтому последовательность получится такой:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, … , 8.
Задача 01.25
Решить задачу можно подбором, в котором поможет вычислительный опыт и математическая интуиция. А можно рассуждать вполне последовательно и рационально.
Во-первых, искомое число равно 2025 + <сумма цифр>.
Далее. Задуманное число не может быть однозначным, двухзначным или трёхзначным, так как самая маленькая сумма цифр этих чисел может быть равна 1. Но тогда 1 + 2025 – четырёхзначное число. Итак, ищем задуманное число среди четырёхзначных.
Наибольшая возможная сумма цифр четырёхзначного числа равна 36. Тогда искомое число находится в пределах от 2026 до 2061. Таким образом, первые две цифры мы определили.
Дальнейшие действия могут быть просто перебором:
2026 – (2 + 0 + 2 + 6) = 2026 – 10 ≠ 2025,
2027 – (2 + 0 + 2 + 7) = 2027 – 11 ≠ 2025,
2028 – (2 + 0 + 2 + 8) = 2028 – 12 ≠ 2025,
2029 – (2 + 0 + 2 + 9) = 2029 – 13 ≠ 2025,
2030 – (2 + 0 + 3 + 0) = 2030 – 5 = 2025.
Как минимум одно такое число мы нашли! Кенгуру задумал число 2030.
Есть ли другие числа, обладающие таким свойством, поищите самостоятельно.
Задача 02.25
Будем решать задачу поэтапно.
Для начала посчитаем, сколько всего существует однозначных, двузначных и трёхзначных чисел.
1. Однозначных чисел (натуральные числа, которые записываются ровно одной цифрой) девять, что очевидно:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. Выпишем все натуральные числа по порядку от 1 до 99:
1, 2, …8, 9, 10, 11, … , 97, 98, 99.
Всего чисел будет 99, из которых 9 однозначных, а остальные двузначные (натуральные числа, записанные ровно двумя цифрами). Тогда двузначных чисел будет 99 – 9 = 90.
3.Аналогично поступим для нахождения количества трёхзначных чисел (натуральные числа, записанные ровно тремя цифрами): 1, 2, … , 99, 100, 101, … , 999.
Понятно, что трёхзначных чисел будет 999 – 99 = 900.
4. А четырёхзначных по условию задачи записано: 2025 – 999 = 26.
5. Теперь считаем количество цифр:
1 × 9 + 2 × 90 + 3 × 900 + 4 × 26 =9 + 180 + 2700 + 104 =
= 2993.
Ответ: 2993.
Задача 03.25
Задача 04.25
Задача 05.25
Задача 06.25
Задача 07.25
Задача 08.25
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ (с заданиями и задачами для увлечённых математикой)
Задача 08.24
Рассуждать можно, например, так:
пусть искомое число x; и пусть уже при однократном повторении действий мы получим число 2024 (тогда при любом количестве повторений мы также будем получать 2024);
тогда можно построить уравнение x × 2 – 2024 = x.
Решив это уравнение мы получим, что исходным числом, которое не изменится в результате указанных в условии действий, может быть 2024.
Задача 09.24
Такое число есть, например, 202420242024…20242024
Группа цифр <2024> должна повториться 253 раза.
Такое число не единственное, например, если приписывать справа нули, то можно получить бесконечно много чисел с нужным свойством.
Вопрос вызывает, будет ли число, пример которого приведён, наименьшим?
Подумаем ещё?
Ответ пока не буду публиковать.
Задача 10.24
Для начала посчитаем, сколько прямых можно построить в принципе:
2023 + 2022 + 2021 + … + 1 = 1012×2023.
Это число не кратно 9, поэтому надо поделить с остатком: неполное частное и даст ответ на вопрос задачи. Получим 227475 дней. Это так много, что бананов хватит на всю жизнь!
Задача 11.24
Применим принцип «наихудшего варианта»: теоретически все первые 2024 попытки достать яблоко из ящика могут привести к тому, что яблоки будут одного цвета (все красные или все жёлтые). Если яблоки все были жёлтые, то на 2025 действии мы достанем красное (так как все жёлтые уже вынуты). Но нам никто не гарантирует, что мы будем доставать вначале только жёлтые яблоки. Поэтому в наихудшем варианте первые 2025 яблок все будут красные. И только на 2026 ход появится жёлтое яблоко.
Так что ответ: 2026.
Задача 12.24
Да, это число будет кратно 9, так как из цифр у него 1, 8 и куча нулей, что в сумме составит 9.
Задача 01.25
Кенгуру ошибся в своих расчётах. Такого числа не существует.
Действительно, трёхзначным число быть не может, значит, если оно существует, то оно четырёхзначное.
Пусть искомое число 1000a + 100b + 10c + n. Построим разность числа с суммой его цифр:
1000a + 100b + 10c + n – (a + b + c + n) = 999a + 99b + 9c.
Мы получили число кратное 9. А 2024 на 9 не делится!
Вот если бы в условии задачи стояло число 2025, было бы совсем другое дело.
Таких чисел десять:
2030 – (2 + 0 + 3 + 0) = 2030 – 5 = 2025,
2031 – (2 + 0 + 3 + 1) = 2031 – 6 = 2025,
2032 – (2 + 0 + 3 + 2) = 2032 – 7 = 2025,
…
2039 – (2 + 0 + 3 + 9) = 2039 – 14 = 2025.
Задача 02.25
Во-первых, такое число существует. Например, число состоящее только из единиц в количестве 2025 штук. Сумма цифр такого 2025-значного числа очевидно будет равна 2025.
Далее: такое число не будет единственным. Действительно, если мы заменим две единицы на одну двойку, то сумма цифр не изменится, а вот чисел таких (одна двойка и 2023 единицы) будет уже две тысячи двадцать четыре. Но ведь можно заменить не две единицы, а четыре единицы на две двойки или три единицы на тройку. Словом, очень много получится таких чисел.
Наименьшим из всех чисел с суммой цифр 2025 будет такое, у которого а) меньше всего разрядов; б) самая первая цифра наименьшая из возможных.
Уменьшить количество разрядов числа можно тем, что будем брать цифру наибольшего «веса», то есть девятку. 2025 : 9 = 225. Получается, что нам необходимо взять 225 девяток. Это будет число, сумма цифр которого равна 2025, но с самым меньшим количеством разрядов. Оно и будет наименьшим.
Отсутствие нулей в записи числа не позволяет получить бесконечное количество таких чисел (именно добавление нулей не изменит сумму цифр), поэтому количество чисел, сумма цифр которых равна 2025, конечно. Наибольшим будет наше первое число, состоящее из одних единиц.
Задача 03.25
Задача 04.25
Задача 05.25
Задача 06.25
Задача 07.25
Задача 08.25