Эта страница создана для ответов на задачи Математических календарей, которые вручались в качестве подарков призёрам математического конкурса Кенгуру в России в 2025 году.
Ответы появляются на первой неделе месяца, который следует за тем, в котором задача была предложена (например, ответ на задачи июня будет опубликован на первой неделе июля и так далее).
В тексте, посвящённом свойствам числа 2026, обнаружилась ошибка: число 2026 не раскладывается на сумму последовательных простых слагаемых. Эта информация – случайное недоразумение, за что автор приносит искренние извинения.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ (с заданиями и задачами для юных любителей математики)
Август, 2025
1) Скорее всего, у Кенгуру не получится только с помощью четырёх арифметических действий из упорядоченного набора чисел 2, 0, 2 и 5 получить число 8. Но если немного изменить условие, то, возможно что-то и получится.
2) Например, 88 ∙ (8 + 8 + 8) − 88 + 8 : 8 = 2025.
Сентябрь, 2025
1) В этот раз всё просто: 2 + 0 + 2 + 5 = 9.
2) Например, (9 + 9) ∙ (99 + 9) + 9 ∙ 9 = 2025.
3) Для решения задачи привлечём в помощь таблицу, в которой расположим числа особенным образом: в первой строке так, как они записаны в задании, во второй строке – в обратном порядке.
Заметим, что в первом столбце оказались числа, стоящие на первом месте с начала и с конца суммы; во втором столбце записаны числа, стоящие на втором месте с начала и с конца и так далее.
Теперь ещё заметим, что суммы чисел в каждом столбце равны. И таких столбцов у нас получилось 2025.
Тогда всю сумму можно посчитать так:
1 шаг. 2026 ∙ 2025, но тогда все числа в этот результат будут входить дважды (один раз из первой строки, другой – из второй); значит надо поделить на 2.
2 шаг. 2026 ∙ 2025 : 2 = 2051325.
Ответ: 2051325.
Октябрь, 2025
1) Например, 10 + (9 + 8 × 7 × 6 − 5 − 4) × 3 × 2 − 1 = 2025.
2) Таких чисел десять: 2030, 2031, 2032, 2033, 2034, 2035, 2036, 2037, 2038 и 2039.
Проверьте!
(В ноябре задачи не предусматривались)
Декабрь, 2025
Например, так:
2025 + 1 + 2 + 3 − 4 − 5 − 6 − 7 + 8 + 9 = 2026.
Январь, 2026
1) Скорее всего, у Кенгуру не получится только с помощью четырёх арифметических действий из упорядоченного набора чисел 2, 0, 2 и 6 получить число 1. Когда-нибудь вы изучите понятие факториала, вот его можно было бы использовать в этой задаче.
2) Например, (1 + 1) ∙ (1111 − 111 + 11) + 1 + 1 + 1 + 1 = 2026.
3) По условию первые два числа должны в сумме давать 2025, а первые три – 2026, значит третье число равно 1. Но сумма второго и третьего также равна 2025, следовательно второе число – 2024.
Рассуждая аналогично, получаем пять искомых чисел: 1, 2024, 1, 2024, 1.
Февраль, 2026
1) Да, например, 2 + 0 ∙ 2 ∙ 6 = 2.
2) Например, 2222 − 222 + 22 + 2 + 2 = 2026.
3) Это число 2026. Найти его можно, если составить и решить уравнение: x ∙ 2 − 2026 = x.
Или рассуждением: пусть у нас что-то было; умножить на 2 – это значит прибавить столько же; теперь, если убрать 2026 и должно остаться то, что было, значит второе слагаемое равно 2026; значит и первое слагаемое тоже 2026.
Или смотри на схему:
Март, 2026
1) Да, например, (20 − 2) : 6 = 3.
2) Например, 333 × (3 + 3) + 3 × 3 × 3 + 3 : 3 = 2026.
3) Решение аналогично задаче, которая была разобрана в феврале Календаря для начинающих математиков (смотрите ниже февраль, 2026).
Апрель, 2026
1) Да, например, 2 × 0 − 2 + 6 = 4 или 20 : 2 − 6 = 4.
2) Например, 44 × 44 + 44 + 44 + (4 + 4) : 4 = 2026.
3) Помните правило нахождения неизвестного уменьшаемого?
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое надо к разности прибавить вычитаемое.
Значит сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности – это уменьшаемое плюс уменьшаемое.
Тогда по условию задачи уменьшаемое равно 2026 : 2 = 1013.
Май, 2026
1) Пока у вас это вряд ли получится. А вот когда вы в будущем изучите такие понятия как степень или факториал, то да, возможно. Например, 20 – 2 + 6 = 5 или 2 – 0! – 2 + 6.
2) Например, 5 × 5 × (5 × 5 + 5 × 5 + 5 × 5 + 5 + 5 : 5) + 5 : 5 = 2026.
3) Для начала нам надо посчитать количество цифр, которое Кенгуру использовал для записи чисел.
Однозначных – 9, двузначных – 2 × 90 = 180,
трёхзначных – 3 × 900 = 2700, четырёхзначных – 4 × 27 = 108.
Итого, было записано 2997 цифр, следовательно затрачено 2997 секунд.
В минуте 60 секунд, значит 2997 секунд – 49 целых минут и ещё какое-то количество секунд.
То есть чуть меньше 50 минут.
Июнь, 2026
1) В этот раз всё просто: 2 × 0 × 2 + 6 = 6.
2) Например, (6666 – 666) : 6 × (6 + 6) : 6 + 6 × 6 – (66 – 6) : 6 = 2026.
3) Во-первых, можно просто посчитать, но это долго.
Во-вторых, можно рассмотреть сумму чисел от 1 до 2020, и установить, что
а) последняя цифра суммы 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 – это 5;
б) а таких сумм будет 202, то есть чётное число, тогда последняя цифра суммы от 1 до 2020 будет 0;
в) а теперь посчитать 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 и установить, что последняя цифра 1.
Ответ: последняя цифра суммы подряд идущих чисел от 1 до 2026 – это 1.
Июль, 2026
1) Да, например: (2 + 0) : 2 + 6 = 7.
2) Например, (7 × 7 × 7 – 7) × (7 – 7 : 7) + 7 + (7 + 7 + 7) : 7 = 2026.
3) Последняя цифра этого произведения – ноль. Потому что, как минимум число 10 как множитель в этом произведении есть.
Август, 2026
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ (с заданиями и задачами для начинающих математиков)
Август, 2025
2025 + 2024 + … + 2 + 1 = (2025 + 1) ∙ 2025 : 2 = 2051325
Ответ: 2051325.
Сентябрь, 2025
С красной точкой многоугольников будет больше.
Рассмотрим только белые точки. И всевозможные многоугольники (от треугольников до 2025-угольника). Теперь в каждом из них заменим одну белую точку красной. Получим такое же количество многоугольников с красной точкой. Но красной можно было заменить любую другую белую точку, при этом получился бы другой многоугольник.
Октябрь, 2025
Последовательность из пяти чисел, обладающая заданными свойствами:
1, 2024, 1, 2024, 1.
Ноябрь, 2025
20252025202520252025
↓20252025202520252025
↓
52025202520252025
↓
55202520252025
↓
55520252025
↓
5552252025
Декабрь, 2025
Например, так:
2025 + 1 − 2 + 3 − 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − 9 = 2026.
Январь, 2026
Количество слагаемых чётное, значит их можно разбить на пары: первое и последнее, второе и предпоследнее и так далее (равноудалённые от концов данного ряда). Тогда 2026 + 1 = 2027 – последняя цифра 7, а таких сумм будет 2026 : 2 = 1013. Следовательно, последняя цифра всей суммы будет совпадать с последней цифрой произведения 7 ∙ 3, то есть это будет единица.
Февраль, 2026
Рассуждать можно так:
• сумма первых четырёх чисел и четырёх чисел со второго по пятое равны, значит первое число и пятое совпадают (они дополняют сумму второго, третьего и четвёртого до равного результата);
• аналогично совпадают второе и шестое число, третье и седьмое и так далее;
• поэтому сначала ставим число 2 на пятое и девятое места, потом число 6 на восьмое и двенадцатое, ноль – на второе и десятое, наконец, на оставшиеся свободные клеточки – снова число 2.
Март, 2026
Ну, тут всё просто:
(2 + 0 + 2 + 6) − (2 × 0 × 2 × 6) = 10 − 0 = 10.
Апрель, 2026
Необходимо 2026 слонов. Расположить их следует так:
пронумеруем снизу вверх строки и слева направо столбцы;
в каждой нечётной строке расположим два слона рядом на 1013 и 1014 местах.
В этой ситуации все остальные свободные поля будут биться как минимум одним слоном.
Май, 2026
Нечётных цифр будет больше.
Если провести исследование, то при записи только однозначных чисел нечётных цифр будет на одну больше; только двузначных – на 50, только трёхзначных – на 500.
Тогда разница в количестве цифр при записи чисел от 2000 до 2026 уже не имеет принципиального значения.
Июнь, 2026
Эта задача связана с таким понятием как цифровой корень.
Именно его мы получим, если выполним все действия, которые описаны в условии задачи.
Основным свойством цифрового корня натурального числа является факт, что если число кратно 9, то его цифровой корень равен 9, а если число не кратно 9, то его цифровой корень равен остатку от деления данного числа на 9.
По условию задачи число кратно 9, и нам даже не важно, сколько в нём цифр. Цифровой корень, который получаем в результате последовательных суммирований цифр, будет равен 9.
Июль, 2026
Эта задача не столько трудная, сколько долго вычисляемая. Но это не значит, что мы будем складывать подряд от первого однозначного числа 1 до последнего числа 6.
Посчитаем, сколько каждой цифры было использовано для записи этого числа.
От 1 до 9: все цифры, кроме 0, записали один раз;
в каждом следующем десятке каждая цифра обязательно была записана как минимум один раз (цифра единиц), а также все цифры, коме нуля, были записаны ещё десять раз (цифры десятков).
Предварительный итог. При записи чисел от 1 до 99 цифры {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} были записаны
1 + 10 + 9 = 20 раз; сколько раз был записан ноль для нас не имеет принципиального значения, так как в сумме цифр он ничего не меняет.
Следующая сотня чисел (от 100 до 199): все цифры (ноль больше не рассматриваем) записаны обязательно 20 раз, но 1 будет записана ещё 100 раз (цифра сотен). Каждая следующая сотня увеличивает количество написания одной какой-то цифры на 100.
Предварительный итог. При записи чисел от 1 до 999 цифры {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} были записаны
20 + 20 × 9 + 100 = 300 раз каждая.
Теперь, аналогично рассуждая, следующая тысяча чисел от 1000 до 1999 добавит тысячу единиц, а также ещё по 300 каждой из цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Количество цифр при записи чисел от 2000 до 2026 считаем непосредственно:
единица – 1 + 1 + 10 + 1 = 13 раз;
двойка – 27 + 1 + 1 + 1 + 7 = 37 раз;
цифры от 3 до 6 – 1 + 1 + 1 = 3 раза;
цифры от 7 до 9 – 1 + 1 = 2 раза.
Итак, считаем сумму всех цифр:
1 ∙ (300 + 1000 + 300 + 13) + 2 ∙ (300 + 300 + 37) + 3 ∙ (300 + 300 + 3) +
+ 4 ∙ (300 + 300 + 3) + 5 ∙ (300 + 300 + 3) + 6 ∙ (300 + 300 + 3) +
+ 7 ∙ (300 +300 + 2) + 8 ∙ (300 + 300 + 2) + 9 ∙ (300 + 300 + 2) =
= 1613 + 1274 + 1809 + 2412 + 3015 + 3618 + 4214 + 4816 + 5418 =
= 28189.
Это не единственный способ найти сумму цифр данного числа. Можете придумать какой-то другой.
Август, 2026
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ (с заданиями и задачами для увлечённых математикой)
Август, 2025
20262 – 20252 = (2026 − 2025) ∙ (2026 + 2025) = 1 ∙ 4051 = 4051
Ответ: 4051.
Сентябрь, 2025
Чтобы число было кратно 2025, оно должно без остатка делиться на 25 и 81.
То есть в разложении на множители в произведении должно быть не менее четырёх чисел 3 и не менее двух чисел 5. Составим таблицу, чтобы понять принцип поиска:
Чтобы получить второй множитель равный 5, надо добраться о 10 (10 = 5 ∙ 2).
Посчитаем, сколько в этом случае будет множителей равных 3:
3, 6 (6 = 3 ∙ 2), 9 (9 = 3 ∙ 3) – как раз четыре. Отлично!
Значит число 10! будет кратно 2025.
Ответ: n = 10.
Октябрь, 2025
Уравнение имеет единственный корень −2025. Его можно найти прикидкой и рассуждениями.
А можно через введение новой неизвестной t = x + 2025.
Ноябрь, 2025
Да, верно.
1. Если мы возьмём одну полоску, утверждение верно с очевидностью.
2. Пусть мы расположили первую полоску горизонтально (для определённости). Если теперь вторую полоску (третью, четвёртую и т.д.) располагать параллельно под первой, то утверждение также верно.
3. Если же вторую полоску расположить вертикально и ниже первой, то для получения прямоугольника надо взять ещё 2024 полоски и расположить их под первой параллельно второй. Но в этом случае тоже останется сторона (горизонтальная) прямоугольника кратная 2025.
4. Теперь вторую полоску расположим вертикально, но рядом с первой, скажем, справа. Тогда длина горизонтальной сторона прямоугольника будет 2026. Но для получения прямоугольника необходимо заполнить места слева от второй полоски и ниже первой. Тогда теперь уже длина вертикальной стороны прямоугольника будет равна 2025.
Декабрь, 2025
Да, сможет. Доказать это можно методом полной математической индукции.
Пусть n = 1. Тогда доска получится размером 2 × 2, а без одной угловой клетки как на рисунке слева.
Очевидно, что это и есть нужный «уголок».
Допустим, что для n = k доску можно разрезать на такие «уголки».
Теперь возьмём четыре таких доски (2k × 2k) и расположим как на цветном рисунке.
Во-первых, размеры получившейся доски 2k + 1 × 2k + 1, то есть n = k + 1.
Действительно, 2k + 2k = 2k × (1 + 1) = 2k × 2 = 2k + 1.
Во-вторых, эта новая доска обладает свойством «быть без угловой клетки».
В-третьих, каждая из трёх взятых досок может быть разрезана на «уголки» по допущению, а «дырка» имеет нужную нам форму.
Теперь понятно, что полученная доска размером 2k + 1 × 2k + 1 может быть разрезана на «уголки».
Январь, 2026
Это число n = 10: 20 × 10 + 26 = 2026 – это наименьшее натуральное число кратное 2026.
Если уменьшать n, то число (26n + 26) не будет кратно 2026.
Февраль, 2026
Эта задача – повод познакомиться с комбинаторной головоломкой «доминирование ферзей», хотя тот сюжет не совпадает по смыслу с нашей задачей.
Верхней границей количества ферзей при наших условиях будет число 2026. Действительно, если расположить все фигуры по одной из главных диагоналей, то все поля будут «под контролем» ферзей. Однако ситуацию можно оптимизировать, уменьшив количество фигур, так как некоторые поля доски будут «под прицелом» нескольких ферзей.
Март, 2026
Да, например, 1012 + 1014. Это единственный возможный способ.
Апрель, 2026
Пусть 2 ∙ 21 + 3 ∙ 22 + … + 2025 ∙ 22024 + 2026 ∙ 22025 = 2X.
Тогда выразим X:
Х = 2 ∙ 20 + 3 ∙ 21 + 4 ∙ 22 + … + 2025 ∙ 22023 + 2026 ∙ 22024.
Рассмотрим сумму геометрической прогрессии:
G = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + … + 22024.
Найдём разность X – G:
X – G = 20 ∙ (2 − 1) + 21 (3 − 1)+ 24 (4 − 1) + … + 22024 (2026 − 1).
Тогда
X – G = 20 + 21 ∙ 2 + 24 ∙ 3 + … + 22024 ∙ 2025 = 1 + 2 ∙ 21 + 3 ∙ 22 + … + 2025 ∙ 22024.
То есть, X – G = 1 + 2Х – 2026 ∙ 22025. Откуда получаем, что X = 2026 ∙ 22025 – 1 – G.
Искомая сумма равна 1 + 2X:
1 + 2 (2026 ∙ 22025 – 1 – G), где G = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + … + 22024 = 22025 – 1.
Ответ: 1 + 4025 ∙ 22025.
Май, 2026
x = 3, y = –2, z = 0, t = 1.
Июнь, 2026
У обыкновенной дроби, которая будет соответствовать десятичной периодической дроби 0,(2026), числитель будет равен 2026, а знаменатель 9999 (2026/9999).
Кто развлекался с делением натуральных чисел на 9, 99 и т.д. тот это просто знает.
Давайте разберём, почему это так.
Пусть число 0,(2026) = t. Если мы умножим t на 10000, то получим 10000t = 2026,(2026).
Вычтем из второго числа первое:
10000t – t = 9999t или 2026,(2026) – 0,(2026) = 2026. То есть 9999t = 2026. Дальше всё понятно.
Июль, 2026
Как бы сложно ни выглядело уравнение, решается оно просто. Хотя, безусловно, опыт математической деятельности и насмотренности имеет значение.
Для начала рассмотрим выражение x – (x – 2026):
x – (x – 2026) = x – x + 2026 = 2026. Это интересно!
Тогда x – (x – (x – (x – 2026))) = x – (x – 2026) = 2026.
Поскольку скобок чётное количество, то в итоге преобразования левой части уравнения получим 2026, то есть равенство 2026 = 2026 получается истинным при любом значении неизвестного.
Август, 2026